[小科普][抛砖引玉]为什么1+1=2？

[quote]本文涉及的内容为初等数论的知识，阅读需要高中用到的集合论等前置知识，参考自北京大学的初等数论第三版[/quote]非常抱歉这是我在水区的处女贴，所以想着整点花活，没想到NGA的手机版对于size标签的处理有点不好[s:ac:哭]

Prologue

之前有一位坛友提到，他的孩子问了他为什么1+1=2，翻了翻网上，没什么让我满意的答案，所以在此做一个小科普，权当抛砖引玉吧。
为什么1+1=2呢，这看起来是一个相当理所应当的问题，就像人跳起来总是会落到地面一样自然，但是如果把什么事情都当做公理，也不会有万有引力定律了。人类的认知是有过程的，符合一个由浅入深的规律。1+1=2的背后，一定蕴含着更深层次的规律——那就是数背后的哲学原理，自然数最真实的性质。
要理解1+1=2，就首先要了解自然数。孩提时代，我们都会伸出双手，数着一二三，他们是如此自然，自然到微积分的大厦已高高建起，自然数的公理化体系才姗姗来迟。岁次1889，意大利的数学家G. Peano终于提出了大名鼎鼎的Peano公理。

Peano公理

大家来到水区肯定不是来看艰深晦涩的数学术语堆砌成的天书，因此，请允许在下牺牲掉一些专业与严格，来换来更加轻松愉快的阅读体验
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如果一个集合N满足一下性质：

• 1. 每一个N中的元素n都有一个唯一的元素与之对应，被称作后继元素，记为n'
• 2. 存在e属于N，他不是任何元素的后继
• 3. N中的一个元素至多是一个元素的后继
• 4. 对于N的一个子集S，如果e属于S，且如果有n属于S，则有n'属于S，那么S=N(归纳公理)

那么这个集合N被称作自然数集合，他的元素n被称作自然数

[/quote]Peano公理无疑经过了精巧的设计以来让他满足一些认知中的自然数的性质。如果用图来表示的话，自然数集合可以被描述为一个从e开始的链条，他们被后继关系连接起来——你可以想一下你所熟知的数轴。那么，我们可以看一下Peano定理是怎么保证这个数轴的性质的：

1.除去e之外，每一个元素n都有一个前导元素prev(n)，满足(prev(n))'=n
换种说法吧——你是一个人，所以你一定有父母，亚当和夏娃除外。这实际上可以用归纳公理去证明。把所有有父母的人和亚当夏娃(也就是e)放在一起，生成一个新的集合S，显然e属于S，然后如果n属于S，他的后继也属于S。我生了一个孩子，所以我的孩子一定有父母，没错，非常的自然。依归纳公理，S=N，QED
2.这个链条是无限延伸的，不会终止，也不会成环(裴Sir：我听说有人拒绝成环？)
让我们来想一下，如果他不能继续延伸下去了，那么是什么让这个链条就像我青春期无法结果的爱情一样戛然而止呢？必然是出现一个元素n，n'=n——宛如纳西索斯爱上了他自己，便无法自拔。我们来看一下为什么这个是不可能的。首先这个元素不可能是e，因为e不是任何元素的后继。然后，对于其他元素而言，就会出现，它既是他前导元素的后继，又是他自己的后继，与公理3矛盾——我是我爸爸，我爸爸也是我爸爸，所以我和我爸爸是兄弟——差辈了，老铁。
不能成环的原因和上面类似，会违背公理3

由此，我们得到了自然数的基本概念，那么我们的下一步就是看一下加法了
那么，什么是加法呢，加法的本质又是什么？

二元运算，加法&乘法

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对于一个集合X，他与自身的笛卡尔积记为Y，Y到X的一个映射f称作X上的一个二元运算

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然后我们来定义一下加法吧，自然数的加法应该有什么最根本的性质呢？
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在自然数集合N上存在一个二元运算+，满足

• n+e=n': 一个元素n加上e等于他的的后继
• n+m'=(n+m)'：一个元素n和一个元素m的后继的和等于n和m的和的后继——我去，好像绕口令

那么，我们将这个二元运算称作加法，它满足结合律、交换律和相消律

[/quote]这个的证明是用归纳公理证明的，我们用熟悉的数学归纳法三步走：

• 1. 首先，对于e来说，定义一个映射，e+n=n'，显然
  e+e=e'
  e+m'=(m')'=(e+m)'
  所以原命题对于e成立。
• 2.然后，对于N中元素n，假设成立
• 3.那么，对于n'来说，定义映射n'+m=(n+m)'，由此可知：
  n'+e=(n+e)'=n''
  n'+m'=(n+m')'=((n+m)')'=(n'+m)'

可知原命题对于n'成立
所以原命题成立。

至于他的结合律与交换律同样可以用类似的方法证明，不再赘述。

乘法是类似的，它的定义是：
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在自然数集合N上存在一个二元运算*，满足

• n*e=n
• n*m'=(n*m) + n

那么，我们将这个二元运算称作乘法，它满足结合律、交换律，分配律，相消律

[/quote]证明不在赘述。

最后对于1+1=2的证明显得多少有些平淡，依据加法的性质，e+e=e'，将e记作1，将e'记作2，就是1+1=2

其他可能会问的问题

Q: 这样定义的自然数序列也有其他可能呀，比如1, 1/2, 1/4....，这样也可以设法满足Peano公理，这个集合也能被叫做自然集合吗？
A: 当然，1/2不过一个名字而已，e',1/2,2，指代的都是一个东西。
不过很多人会有些困惑，那么我反问一个问题，在上面的自然数集合下，(1/2)乘以(1/2)等于多少呢？
(1/2) * (1/2)
= (1/2) * 1'
= (1/2) * 1 + 1/2
= 1/2 + 1'
= (1/2)''
= 1/8
第二个元素乘以第二个元素永远是第四个元素，不管你换做什么名字，都是这样
Q: 这样的想法真的有意义吗，我感觉这只是费尽心机设计一堆非常复杂的东西去说明一个浅显易见的事实
A: 是的，科学家费劲心机，皓首穷经，研究的都是浅显易见的事实吗，平静的大海下，往往波涛汹涌。
Q: 0算不算自然数呢？
A: 可以算，不过你需要修改一下自然数上加法和乘法的定义。

Epilogue

老子云，道可道，非常道。1+1=2，细究起来竟是如此深微难言。读着Peano公理，竟然读出了一生二，二生三，三生无穷之感。或许正如毕达哥拉斯所言，万物皆数，一切的一切都要从那个1开始，他积累，改变，从一粒尘埃化作了万千世界。虽然这种思考对于我一个新晋社畜来说显得有些奢侈，但是偶尔享受一下，还是非常浪漫的。
非数学专业也不是数学竞赛出身，谭里毕竟卧虎藏龙，如有不当欢迎指出。