Zero ゼロ
2022-01-07T05:07:08+00:00
不知道能不能在这版讨论这个，不合适的话麻烦版主删了。
遇到个概率学问题，抽象简化成摸小球以后问题如下：
假设一个不透明的口袋里有100个小球，其中包括10种颜色(不含白色)的小球每种各有X个(0<X≤10)，剩余100-10X个都为白色，这些小球只存在颜色上的不同，其他性质都一样(就是靠摸分辨不出来)。
现在不看颜色从口袋里一次性摸出10个，然后把摸出的10个里白色的都放回袋子里去，然后再每种颜色留一个，多的也都放回袋子里去(就是比如摸出来的颜色组合是红红蓝蓝绿黑白白白白，就放回去红蓝白白白白，留下红蓝黑绿各一个)。
请问如此操作以后，留在袋子外的球的数量的期望跟X之间的关系。
希望有人能给解答一下，我算了一上午完全摸不着头脑，先谢谢了。
简单地来说，要求的就是一次摸出几种颜色(不含白)的期望。
一次摸出k种不同颜色(不含白，k取0到10)，先确定哪k种颜色，情况有10Ck这么多，现在考虑其中的某一种情况
此时要求这k种颜色每种至少一个球，剩下的10-k个球也不能随便选，必须是这k个颜色或者白色，状况的多样性也就来自于剩下的这10-k个球(前面k个球是固定的)
考虑剩下的10-k个球，从k种颜色剩余的球以及白色球种随便选10-k个即可
k种颜色每种剩下X-1个，白色剩下100-10X个
总共kX-k+100-10X这么多，取10-k个
所以剩下的k个球取法是(kX-k+100-10X)C(10-k)这么多
要求的状态数是10Ck*(kX-k+100-10X)C(10-k)
总共的状态数是100C10
那么最后的期望就是
sigma[k=0，10，k*10Ck*(kX-k+100-10X)C(10-k)/100C10]
什么鬼题目
袋子里有100个球，10种颜色X个，X最大值取10，这就100个了
然后不说白球有多少个
跟这求什么期望值呢
白球有1个和50000个它能一样吗
[s:ac:无语]
[quote][pid=580973772,30246619,1]Reply[/pid] Post by [uid=43031156]这还得熬多久[/uid] (2022-01-12 13:17):
什么鬼题目
袋子里有100个球，10种颜色X个，X最大值取10，这就100个了
然后不说白球有多少个
跟这求什么期望值呢
白球有1个和50000个它能一样吗
[s:ac:无语][/quote]100?10x为白色
[quote][pid=580973772,30246619,1]Reply[/pid] Post by [uid=43031156]这还得熬多久[/uid] (2022-01-12 13:17):
什么鬼题目
袋子里有100个球，10种颜色X个，X最大值取10，这就100个了
然后不说白球有多少个
跟这求什么期望值呢
白球有1个和50000个它能一样吗
[s:ac:无语][/quote]您是不是漏看了“剩余100-10X个都为白色”这句话
一共100个，其中10种颜色每种X个，剩余100-10X个都为白色。
X最大值取10的时候就是没有白球。
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202201/12/-7Q2p-ba08K7ToS78-3g.jpg[/img]
我先来
50%
什么?你这个概率题怎么问关系[s:a2:doge]
Reply to [pid=580976766,30246619,1]Reply[/pid] Post by [uid=42637414]渡有人[/uid] (2022-01-12 13:29)
您好，能给简单讲解下过程吗
我把分布列求出来了，在三楼自己看吧[s:ac:茶]
10万次的结果
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202201/12/-7Q2p-jfg1KzT3cSji-7z.jpg[/img]
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202201/12/-7Q2p-f8i6K1lT3cSiq-9t.jpg[/img]
Reply to [pid=580977445,30246619,1]Reply[/pid] Post by [uid=35217782]梧桐伊織[/uid] (2022-01-12 13:32)我想简单了，你看3楼的解答吧
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202201/12/-7Q2p-ej9wK2bT3cSv6-9j.png.medium.jpg[/img][img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202201/12/-7Q2p-ejisK17T3cSsg-gx.png.medium.jpg[/img]
10万次模拟结果，算法可能有逻辑错误，欢迎批评指正。
[quote][pid=580973647,30246619,1]Reply[/pid] Post by [uid=39339664]涛帅依旧[/uid] (2022-01-12 13:16):
简单地来说，要求的就是一次摸出几种颜色(不含白)的期望。
一次摸出k种不同颜色(不含白，k取0到10)，先确定哪k种颜色，情况有10Ck这么多，现在考虑其中的某一种情况
此时要求这k种颜色每种至少一个球，剩下的10-k个球也不能随便选，必须是这k个颜色或者白色，状况的多样性也就来自于剩下的这10-k个球(前面k个球是固定的)
考虑剩下的10-k个球，从k种颜色剩余的球以及白色球种随便选10-k个即可
k种颜色每种剩下X-1个，白色剩下100-10X个
总共kX-k+100-10X这么[/quote]老哥辛苦，我大概明白你的思路，我之前也有考虑过这样的算法，但是这里面我感觉可能有个问题。
就是一开始算10Ck的时候其实是没有限定被留下的是某种颜色里的特定一个球的，但是后面算10-k的组合的时候，其实是排除了用来定色组的那k个球的，这里等于预先设定了被留下的是特定的某个球，所以感觉光这样算可能不太对。
具体表现就是我验算了一下sigma[k=0，10，10Ck*(kX-k+100-10X)C(10-k)/100C10]，在X大于1的时候不等于1，也就是当每个颜色的球数量超过一个，可能摸到重复颜色的球到时候，按这种算法算出来的各种情况的概率总和不为1。
[quote][pid=580994151,30246619,1]Reply[/pid] Post by [uid=39617360]tel15062142020[/uid] (2022-01-12 14:39):
10万次的结果
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202201/12/-7Q2p-8a9rKyT3cSjd-79.jpg[/img]
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202201/12/-7Q2p-ijtnK1bT1kShi-b3.jpg[/img][/quote]老哥辛苦，不过感觉这个计算结果跟我经验上的感觉差的比较大，比如X=1的时候，不可能摸到重复的彩色球，那么这个问题就简化成10个彩球和90个白球里摸10个，摸到彩球的期望，很容易得到是1个，而X不是很大的时候，重复的几率也比较小，这个期望应该跟10X%偏离的不会很多，但是看你的计算结果跟这个数差的蛮大。
代码苦手，也看不出问题出在哪里。
[quote][pid=581014191,30246619,1]Reply[/pid] Post by [uid=62347259]先锋之痕[/uid] (2022-01-12 15:56):
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202201/12/-7Q2p-ej9wK2bT3cSv6-9j.png.medium.jpg[/img][img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202201/12/-7Q2p-ejisK17T3cSsg-gx.png.medium.jpg[/img]
10万次模拟结果，算法可能有逻辑错误，欢迎批评指正。[/quote]老哥辛苦，我感觉你这个结果跟我心里预期的很接近，我先用你的结论去进行我的下一步计算了，谢谢！
Reply to [pid=581023142,30246619,1]Reply[/pid] Post by [uid=35217782]梧桐伊織[/uid] (2022-01-12 16:28)看错题目了[s:ac:擦汗]我看成 重复的色球留在外面了，改了一下
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202201/12/-7Q2p-eitwK11T3cSjq-79.jpg[/img]
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202201/12/-7Q2p-d5kqK16T1kSfq-ae.jpg[/img]
蒙卡大法好
跟这绕弯弯呢
[s:ac:上][s:ac:上][s:ac:上]