[真数学题]圆内任取四点，其能构成凸四边形的概率是多少？

0.5[s:ac:茶]

100%[img]http://img.nga.178.com/attachments/mon_201209/14/-47218_5052bc4cc6331.png[/img]
如果你说的凸四边形我没理解错的话
编辑:是“圆内”不是“圆上”啊，那没事了

凸四边形的定义是每个内角都小于180么？那应该是100%啊[s:ac:呆]

好像用极坐标可以解决吧，懒得算了 哦还要积分
如下[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202108/31/-7Q7i87-c3k9K2nT3cSlc-sg.jpg.medium.jpg[/img][img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202108/31/-7Q7i87-gxglK1fT3cSsg-fe.jpg.medium.jpg[/img][img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202108/31/-7Q7i87-dnqhZaT3cSlc-sg.jpg.medium.jpg[/img][img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202108/31/-7Q7i87-fjcrK1xT3cSlc-sg.jpg.medium.jpg[/img][img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202108/31/-7Q7i87-gutaK2eT3cSlc-sg.jpg.medium.jpg[/img]

100%，如果你的表述没出错的话

Reply to [pid=546156485,28303651,1]Reply[/pid] Post by [uid=40632783]ScorpioCh[/uid] (2021-08-31 17:58)

何以见得？

取完三点围成的三角形就是它构成凹四边形的概率吧，毕竟只要第四点在三角形内怎么都会变成凹四边形[s:ac:擦汗]

转换为，任取3个点，平均围出的面积为多少。

用极坐标，坐标位于圆心O，3个点两两与O组成3角形，求3个三角形面积之和即可。

那么问题来了，任取点的时候，是按面积平均概率，还是按(r，phi)平均概率，题目表述不清。
如果是按面积平均概率，注意在上述方法中需要添加一个概率密度的系数。

什么？答案是多少？对不起我在拉屎

感觉是个钓鱼问题，不同的作图方法可能概率不同。应该是某个概率悖论的衍生问题吧。

Reply to [pid=546158285,28303651,1]Reply[/pid] Post by [uid=62925704]free嘻嘻机[/uid] (2021-08-31 18:04)

应该是这样
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202108/31/-7Q176-hmwgKlT1kSe8-ad.jpg[/img]
在阴影部分为凹，其他部分为凸。

粗暴解法应该就是用积分历遍...
可是我积不出来...

凹四边形说明第四点落在了前三点构成三角形内部，因此无非是求三点构成的三角形面积期望。知乎上有个问题说，三角形面积期望是35/48pi，那结果应该是1-35/48pi平方

可参考：[url]https://www.zhihu.com/question/50499895[/url]

Reply to [pid=546158954,28303651,1]Reply[/pid] Post by [uid=63341148]_Bling_[/uid] (2021-08-31 18:07)

参见10楼，不仅仅是三角形面积那么简单

要么是，要么不是。50%的概率。

编辑了，看错题目了

平面上的圆还是曲面上的圆

Reply to [pid=546160496,28303651,1]Reply[/pid] Post by [uid=40401643]fwxya[/uid] (2021-08-31 18:12)

那么问题来了，如何求三角形面积期望？

[quote][pid=546160549,28303651,1]Reply[/pid] Post by [uid=63218939]entropias[/uid] (2021-08-31 18:13):

参见10楼，不仅仅是三角形面积那么简单[/quote]ABCD四个点地位一样，所以当D位于外部阴影内，也就是A在三角形BCD内，等价于D在三角形ABC内。

通俗来说相当于，4个球地位相同时，排列题变成了组合题。

[quote][pid=546162391,28303651,1]Reply[/pid] Post by [uid=63218939]entropias[/uid] (2021-08-31 18:19):

那么问题来了，如何求三角形面积期望？[/quote]点进去那个链接，别人写的很详细，就是写了个积分用mathematica算了值。另外可以参考10楼的回答呀

[quote][pid=546160496,28303651,1]Reply[/pid] Post by [uid=40401643]fwxya[/uid] (2021-08-31 18:12):

凹四边形说明某个点落在了另外三点构成三角形内部，这是四个互斥的事件，也就是第四点落在前三点概率的4倍。因此无非是求三点构成的三角形面积期望。知乎上有个问题说，三角形面积期望是35/48pi，那结果应该是1-35/12pi平方

面积的计算可参考：[url]https://www.zhihu.com/question/50499895[/url][/quote]1是哪里来的，期望又不是概率，不能用1-