jofrolifts
2021-01-11T13:58:22+00:00
首先声明：本人不是相关学科的专业人士，只是兴趣所在看了点相关数学史，在此当个复读机复读一下先哲对于“数学是什么”这个问题的不同看法。如有专业的数学哲学佬欢迎批评纠错。
柏拉图的徒弟亚里士多德大致赞同柏拉图的观点，但是他认为回忆这种说法实在是不靠谱，他认为数学知识的获得是从逻辑推理获得的，于是他提出了著名的三段论来给柏拉图主义打补丁，就是大前提小前提结论那一套。
总而言之，柏拉图主义认为：1数学是永恒的抽象存在；2数学独立于人类存在；3数学是自然界的最高法官；4人类可以发现新的数学知识。后来宗教发展，柏拉图主义与之结合，当时不少教徒认为上帝使用数学这种完美的秩序来设计世界，说白了就是在加了个二创认为神是数学的作者。
在这个理念的指导下古希腊人欧几里得创作了他的不朽巨著《几何原本》，通过五条公社五条公理以及三段论，构建出了完美的抽象的欧氏几何体系。从那以后公理，公社和逻辑成为了一个数学体系的标配，直至今日，柏拉图主义受众依旧广泛。[s:ac:赞同]
康德认为人的知识并非都来自经验，有些认识是刻在DNA里的。比如对时间和空间的认识，只有有了这种先验，才能把经验转化成知识。后验就是你获得的经验例如苹果会往地上掉而不是往天上飞。
分析判断指命题里的谓语其实已经蕴含在主语的内涵里，而综合判断与之相反。
先验分析判断
(所有分析判断无须检证，所以都是先天分析判断)
后验分析判断
(已经是经验事实，不须再经经验判断，因此不存在)
先验综合判断
(不来自经验，具有绝对普遍的)
后验综合判断
(由经验中获得，因此是相对的普遍，可以找到例外)
以上来自百度百科的例子，重申康德认为数学是先验综合判断。[s:ac:晕]
PS：康德实在懂的不多，但是康德认为数学是先验综合是可以确定的有兴趣的可以去啃《绝对理性批判》
以上大致就是古典时代对于“数学是什么”这个问题的解答，可惜在近代第二次数学危机开始的时候都被冲击得很惨……
近代由牛顿和莱布尼兹创立的微积分在物理和工程学上有了广泛的运用，然而这个简陋版本的微积分真的是漏洞百出，那个不知道到底是不是0的无穷小就在那恶心人……为什么一个级数展开可以得出明显荒谬的结论(把-1带入1/1-x的展开式)，为什么一个人为规定的根号-1如此好用？那个年代有如此多的问题，冲击着古老的柏拉图主义。
其中最关键的问题是：明明这些玩意既不严谨也不逻辑，可是为什么这么TMD管用啊？如此不严谨的东西，人类都搞出来的各种微分定理，傅里叶搞出了傅里叶展开，常微分方程的各种理论当年建立了一堆，物理学突飞猛进拉格朗日连拉格朗日力学都搞出来了。这种风潮下当年著名的数学家雅可比都说：“要到达高斯那样的严密，我们没有时间。”[s:ac:闪光]
但是人类对于严谨和公理化理论的追求没有停下脚步，微积分带来的第二次数学危机还是被人类解决了。从柯西阿贝尔开始，到维尔斯特拉斯康托等人结束。人类可算把微积分搞成了数学分析……现在大家在高数中备受折磨的delta-epsilon极限定义，连续，可微，一致连续等概念都是为了解决这个危机发明的……
无论如何，令人讨厌的时代过去了，我们回到了公理化体系， 物理狗看见什么就泰勒展开分离变量那不关我数学狗事了！ 为了发展严密的微积分体系，现代数学也给出了不同的关于“数学是什么”的看法。
乌贼是个作者。
看似是个综合判断，实际上我们翻译一下……“一个叫乌贼的作者是个作者”。
这个类比当然不太合适，毕竟乌贼这个网名不一定是个作者，但是这种“一个叫乌贼的作者是个作者”这种命题，在数学里面非常常见。公理在弗雷格看来就是定义，是理论的起点，之后所有的数学知识都是这种分析判断而已。什么数学是物理现象的归纳自然的规律，什么先验综合的直觉，什么人类的心理，都给爷爪巴！数学就是逻辑学的一个分支。数学是一种纯分析的逻辑产物。
一代哲学大佬弗雷格为此做出了许多贡献，他选择集合论当建立数学大厦的最底层基石，例如他把0定义为空集，后面用皮亚诺公理体系定义出来自然数，然后引入减法构建整数，引入除法构建有理数，戴德金分割构建实数……数学大厦就这么建立起来了，一切都不过是集合论这个纯逻辑产物的分析判断。在这个体系里，2+3=5本身就是(1+1)+(1+1+1)=1+1+1+1+1的换个写法。(后继数写这个过程更严谨，我只是举个不严谨的例子)这是个伪装成判断的定义！
1893年，他完成了著作《算术的基本定律》，把这种对数学基础的重新构建系统化地发表了。看来“数学是什么”这个问题可以画上句号了，数学不过是一种逻辑。
可惜1902年罗素给弗雷格寄了封信，提出了他著名的罗素悖论。通俗的版本就是那个理发师悖论：“在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。”
罗素构造了一个集合S：S由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：s是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S；反之，如果s不属于S，同样根据定义，s就属于S。无论如何都是矛盾的。
弗雷格逻辑数学大厦的地基被人掀翻了……[s:ac:呆]
但是罗素接过了弗雷格的观点继续前进，他认为用纯逻辑建立数学虽然困难但是还是可以做到的，他给不同的集合分层，试图构建出新的大厦。他指出s的问题主要是自指，用分层的方法绕过自指，重新建立数学基础不是不可能对吧……后面他的论述我也看不懂了反正还是不行，最后不得不承认或许集合论依旧不是那个最底层的基石。
形式主义最大问题就是我们既然规定了这么一套规则，那么这套规则最少要自洽吧……我们不能给出一个命题，他又真又假，这整个规则不就崩了。那么能不能证明算术公理体系这套设定是没有矛盾的呢？这就是大名鼎鼎的希尔伯特第二问题。
1931年哥德尔提出的的不完备性定理指出：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
好了又完犊子了……[s:ac:呆]
直觉主义认为数学是可以通过有限步的构建建立起来，那种我不知道怎么构建但是可以从反证法推出了存在的存在就是不存在，给我爪巴！
这个理论最大问题就是否定了很多有价值的结论，但是它好像在算法里面有不少理论？
总而言之也是个靠不住的货色……[s:ac:呆]
总而言之，“数学是什么”这个问题有两千多年的讨论，无数哲人先知给出了各类看法，至今没有太好的解答，你可以选择一个自己看得过去的主义信一信……反正不影响你高数挂在树上……
但是当你试图给这个问题一个答案的时候，个人建议看一看前人的观点，毕竟上完本科最大的认识应该就是我能想到的大概率前人早就想到过了……没有必要闭门造车，你那点东西早就有人系统化总结过了。[s:ac:哭笑]
毕达哥拉斯主义：数学蕴含了自然的秘密
从最早的古希腊时代说起，古希腊人研究几何主要并不是出于对应用的需求，他们认为数学或者说几何本身具有极大的美感，“上帝把一切都归于几何”，他们认为可以通过研究数学来研究自然。这种思路让古希腊人对数学的严谨和哲学基础有了不少的探讨，可以说是理性主义审美的起源。古希腊这种思想的最代表学派就是毕达哥拉斯学派，他们贯彻这种信仰认为自然数和有理数里蕴含了自然的一切秘密。[s:ac:blink]柏拉图主义：数学来自理念世界
柏拉图认为世界可以分成两部分，一部分是现象世界，另一部分是理念世界。现象世界就是你通过你自带的传感器(五感)获得的信息组成的世界；而理念世界就是你抽象出来的概念的世界，例如道德和艺术。现象世界多变不定，而理念世界抽象永恒。人可以通过类似前世回忆的直觉方法获得数学知识，而数学知识是完美的秩序，就是最美的真理。柏拉图的徒弟亚里士多德大致赞同柏拉图的观点，但是他认为回忆这种说法实在是不靠谱，他认为数学知识的获得是从逻辑推理获得的，于是他提出了著名的三段论来给柏拉图主义打补丁，就是大前提小前提结论那一套。
总而言之，柏拉图主义认为：1数学是永恒的抽象存在；2数学独立于人类存在；3数学是自然界的最高法官；4人类可以发现新的数学知识。后来宗教发展，柏拉图主义与之结合，当时不少教徒认为上帝使用数学这种完美的秩序来设计世界，说白了就是在加了个二创认为神是数学的作者。
在这个理念的指导下古希腊人欧几里得创作了他的不朽巨著《几何原本》，通过五条公社五条公理以及三段论，构建出了完美的抽象的欧氏几何体系。从那以后公理，公社和逻辑成为了一个数学体系的标配，直至今日，柏拉图主义受众依旧广泛。[s:ac:赞同]
康德主义：数学是先验综合知识
康德认识论里把判断分成了先验分析，先验判断，后验分析和后验判断四种类型。康德认为数学是先验综合知识。康德认为人的知识并非都来自经验，有些认识是刻在DNA里的。比如对时间和空间的认识，只有有了这种先验，才能把经验转化成知识。后验就是你获得的经验例如苹果会往地上掉而不是往天上飞。
分析判断指命题里的谓语其实已经蕴含在主语的内涵里，而综合判断与之相反。
先验分析判断
(所有分析判断无须检证，所以都是先天分析判断)
后验分析判断
(已经是经验事实，不须再经经验判断，因此不存在)
先验综合判断
(不来自经验，具有绝对普遍的)
后验综合判断
(由经验中获得，因此是相对的普遍，可以找到例外)
以上来自百度百科的例子，重申康德认为数学是先验综合判断。[s:ac:晕]
PS：康德实在懂的不多，但是康德认为数学是先验综合是可以确定的有兴趣的可以去啃《绝对理性批判》
以上大致就是古典时代对于“数学是什么”这个问题的解答，可惜在近代第二次数学危机开始的时候都被冲击得很惨……
近代由牛顿和莱布尼兹创立的微积分在物理和工程学上有了广泛的运用，然而这个简陋版本的微积分真的是漏洞百出，那个不知道到底是不是0的无穷小就在那恶心人……为什么一个级数展开可以得出明显荒谬的结论(把-1带入1/1-x的展开式)，为什么一个人为规定的根号-1如此好用？那个年代有如此多的问题，冲击着古老的柏拉图主义。
其中最关键的问题是：明明这些玩意既不严谨也不逻辑，可是为什么这么TMD管用啊？如此不严谨的东西，人类都搞出来的各种微分定理，傅里叶搞出了傅里叶展开，常微分方程的各种理论当年建立了一堆，物理学突飞猛进拉格朗日连拉格朗日力学都搞出来了。这种风潮下当年著名的数学家雅可比都说：“要到达高斯那样的严密，我们没有时间。”[s:ac:闪光]
但是人类对于严谨和公理化理论的追求没有停下脚步，微积分带来的第二次数学危机还是被人类解决了。从柯西阿贝尔开始，到维尔斯特拉斯康托等人结束。人类可算把微积分搞成了数学分析……现在大家在高数中备受折磨的delta-epsilon极限定义，连续，可微，一致连续等概念都是为了解决这个危机发明的……
无论如何，令人讨厌的时代过去了，我们回到了公理化体系，
逻辑主义：数学就是先验分析
这是弗雷格的看法，他认为数学根本不是什么分析判断，它就是个分析判断！例如我们来个不严谨的例子：乌贼是个作者。
看似是个综合判断，实际上我们翻译一下……“一个叫乌贼的作者是个作者”。
这个类比当然不太合适，毕竟乌贼这个网名不一定是个作者，但是这种“一个叫乌贼的作者是个作者”这种命题，在数学里面非常常见。公理在弗雷格看来就是定义，是理论的起点，之后所有的数学知识都是这种分析判断而已。什么数学是物理现象的归纳自然的规律，什么先验综合的直觉，什么人类的心理，都给爷爪巴！数学就是逻辑学的一个分支。数学是一种纯分析的逻辑产物。
一代哲学大佬弗雷格为此做出了许多贡献，他选择集合论当建立数学大厦的最底层基石，例如他把0定义为空集，后面用皮亚诺公理体系定义出来自然数，然后引入减法构建整数，引入除法构建有理数，戴德金分割构建实数……数学大厦就这么建立起来了，一切都不过是集合论这个纯逻辑产物的分析判断。在这个体系里，2+3=5本身就是(1+1)+(1+1+1)=1+1+1+1+1的换个写法。(后继数写这个过程更严谨，我只是举个不严谨的例子)这是个伪装成判断的定义！
1893年，他完成了著作《算术的基本定律》，把这种对数学基础的重新构建系统化地发表了。看来“数学是什么”这个问题可以画上句号了，数学不过是一种逻辑。
可惜1902年罗素给弗雷格寄了封信，提出了他著名的罗素悖论。通俗的版本就是那个理发师悖论：“在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。”
罗素构造了一个集合S：S由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：s是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S；反之，如果s不属于S，同样根据定义，s就属于S。无论如何都是矛盾的。
弗雷格逻辑数学大厦的地基被人掀翻了……[s:ac:呆]
但是罗素接过了弗雷格的观点继续前进，他认为用纯逻辑建立数学虽然困难但是还是可以做到的，他给不同的集合分层，试图构建出新的大厦。他指出s的问题主要是自指，用分层的方法绕过自指，重新建立数学基础不是不可能对吧……后面他的论述我也看不懂了反正还是不行，最后不得不承认或许集合论依旧不是那个最底层的基石。
形式主义：数学就是一堆运算符号
用不少老师的话来说，你们学习这门课其实就是学会这套话术怎么说。希尔伯特为代表的形式主义认为尽管逻辑主义最后还是8行，但是还是有很多有价值的成果的。给朴素集合论打补丁成ZFC公理体系，大家在制定的一些规则下用逻辑讨论命题，不追求完美还原，如同在规则内下棋一样。这样数学就变成了一套没意义的形式语法。形式主义最大问题就是我们既然规定了这么一套规则，那么这套规则最少要自洽吧……我们不能给出一个命题，他又真又假，这整个规则不就崩了。那么能不能证明算术公理体系这套设定是没有矛盾的呢？这就是大名鼎鼎的希尔伯特第二问题。
1931年哥德尔提出的的不完备性定理指出：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
好了又完犊子了……[s:ac:呆]
直觉主义：数学来自心灵的直觉
这个我懂得最少……随便扯一下。这个主义最鲜明的两个特征就是1反对实无穷2反对反证法(主要是无穷集)直觉主义认为数学是可以通过有限步的构建建立起来，那种我不知道怎么构建但是可以从反证法推出了存在的存在就是不存在，给我爪巴！
这个理论最大问题就是否定了很多有价值的结论，但是它好像在算法里面有不少理论？
总而言之也是个靠不住的货色……[s:ac:呆]
数学柏拉图主义：数学存在，且客观存在，存在于抽象世界
这是现代版本的柏拉图主义。逻辑主义和形式主义的失败让人不得不承认数学直觉，我们把康德的先验综合又一次挖了出来……尽管康德当年关于数学，时间和空间的看法已经过时，但是知识版本更新后依旧存在类似当年康德世界观里时间和空间这种知识，因为我们不能证明一切。[s:ac:呆]总而言之，“数学是什么”这个问题有两千多年的讨论，无数哲人先知给出了各类看法，至今没有太好的解答，你可以选择一个自己看得过去的主义信一信……反正不影响你高数挂在树上……
但是当你试图给这个问题一个答案的时候，个人建议看一看前人的观点，毕竟上完本科最大的认识应该就是我能想到的大概率前人早就想到过了……没有必要闭门造车，你那点东西早就有人系统化总结过了。[s:ac:哭笑]