brodaZyexcs
2021-08-17T06:16:26+00:00
*本文系对尤亦庄教授的演讲《重整化与机器学习》的部分内容整理回顾
从无穷级数的角度来说，这样写当然是不太严谨的。
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202108/24/-7Qczuv-ftmfZ1aT3cSzt-oo.png[/img]
不过这个问题和计算费曼图是非常相似的，它和计算费曼图遇到的困难是一样的。我们面对一个会发散的无穷级数，但是我们想从这个无穷级数的求和中间，得到一个有限的，收敛的，或者make sense的解，得到一个有意义的解。
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202108/24/-7Qaem8-pfhZ11T3cSyr-of.png[/img]
很早的时候，拉马努金提出了一个暴力且错误的打开方式。他在给哈代，另外一个非常有名的数学家的一封信当中写下了这么一段证明。他认为这样可以证明为什么所有自然数之和是-1/12。
拉马努金是个天才科学家，不是一个那么随便的人。所以人们最后还是试图把他的这一“观察”用黎曼zeta函数的解析延拓等等的方式去理解，当然，这个跟重整化有什么关系呢？
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202108/24/-7Qczuw-5pszZ18T3cSzh-om.png[/img]
实际上我们可以用重整化的方式来理解它。
在物理上面，如果我们要做一个无穷级数求和，然后它又不收敛。那物理学家怎么办呢？引入一个截断。我们就说从1加到无穷大肯定不收敛，但如果加到一个有限的数一定收敛。那我们就可以引入一个“压制”的函数，一个exponential decay的e的负指数(如图)。n是从1加到无穷大的，直接对n求和显然不行。但是我们可以引入一个截断标度，一个很大的大N。使得我这个包络函数，他回去包络我这个求和的sum。而包络函数是e的负指数衰减的，收敛的足够快，因此就可以控制整个级数的收敛。完成求和以后，再把大N趋于无穷，似乎就可以得到原来仅对n求和的一个情况。
如上图所示，我们可以看到，如果大N取得很小，那它很快就把这个求和压制掉了。超过大概5左右的时候，求和就“变形”了。主要被指数衰减部分所控制。这样就可以收敛。
当然，你把N变得越来越大的时候，它确实就看起来，至少在前几项，就越来越接近1+2+3这样加下去的情况。比如说N=1000时，你在前20项根本无法区分压制函数的存在。所以呢，物理学家希望通过这样的计算去研究这个无穷级数到底是怎么发散的。那么这个级数其实是可以算的，它其实是一个几何级数，结果如图。然后我们再把这个结果对大N，也就是我们引入的截断标度做一个泰勒展开，而且是在N趋于无穷大的这样一个极限下。那么它的leading term，也就是首项，是N平方。那这就意味着说这个东西的的确确是不收敛的。但神奇的-1/12就出现了，它就是这个泰勒级数展开的subleading term。更高阶的项没有意义，因为当N趋于无穷时这些项都消失了。
我们把引入的标度就叫做重整化的截断尺度N。
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202108/24/-7Q8j0o-29uoZ18T3cSxo-nl.png[/img]
那么重整化方案的选择，是不是会影响最后的结果呢？你可能会怀疑，这个-1/12是不是那么的general，是不是真的具有普适性。
那么可以参考陶哲轩在博客上给出的几种压制函数的结果，并且可以验证，引入任何的压制函数(只要是一个光滑的函数)，比如说除了指数，还可以用分数形式的衰减去压制(如图)，他们的共同特点就是在n远小于N的区间里，值接近1，对整个求和不做任何操作。而当n远大于N时，它就把你截断掉。可以验证，对于具有如此特点的求和级数进行泰勒展开，尽管leading term千奇百怪，但是它们具有一个universal的sub leading term，也就是-1/12。所以可以说，拉马努金做的计算虽然是不合法的，但他猜出了这么一个结果，-1/12是一个与重整化方案无关的普适常数。这个结果，实际上向我们说明了，在剪除了无穷大项以后，剩下来的一个普适的常数项，是有物理意义的。所以这可以说是重整化思想的一个开端。
我们可以看到这样一个数学技巧就像“黑魔法”一样：明明是一个不可收敛的级数，但是我们却可以通过这样的技巧去找到这样一个不可收敛的级数中间的一种普适性的东西，一种共性。然后这个-1/12在物理里面跟卡西米尔效应等等物理现象都是有关的。实际上在实验上面也是有实验的consequent的，是可以测出来的。所以这也就是神奇的量子场论是怎么处理发散的一个简单演示。
从无穷级数的角度来说，这样写当然是不太严谨的。
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不过这个问题和计算费曼图是非常相似的，它和计算费曼图遇到的困难是一样的。我们面对一个会发散的无穷级数，但是我们想从这个无穷级数的求和中间，得到一个有限的，收敛的，或者make sense的解，得到一个有意义的解。
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很早的时候，拉马努金提出了一个暴力且错误的打开方式。他在给哈代，另外一个非常有名的数学家的一封信当中写下了这么一段证明。他认为这样可以证明为什么所有自然数之和是-1/12。
拉马努金是个天才科学家，不是一个那么随便的人。所以人们最后还是试图把他的这一“观察”用黎曼zeta函数的解析延拓等等的方式去理解，当然，这个跟重整化有什么关系呢？
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202108/24/-7Qczuw-5pszZ18T3cSzh-om.png[/img]
实际上我们可以用重整化的方式来理解它。
在物理上面，如果我们要做一个无穷级数求和，然后它又不收敛。那物理学家怎么办呢？引入一个截断。我们就说从1加到无穷大肯定不收敛，但如果加到一个有限的数一定收敛。那我们就可以引入一个“压制”的函数，一个exponential decay的e的负指数(如图)。n是从1加到无穷大的，直接对n求和显然不行。但是我们可以引入一个截断标度，一个很大的大N。使得我这个包络函数，他回去包络我这个求和的sum。而包络函数是e的负指数衰减的，收敛的足够快，因此就可以控制整个级数的收敛。完成求和以后，再把大N趋于无穷，似乎就可以得到原来仅对n求和的一个情况。
如上图所示，我们可以看到，如果大N取得很小，那它很快就把这个求和压制掉了。超过大概5左右的时候，求和就“变形”了。主要被指数衰减部分所控制。这样就可以收敛。
当然，你把N变得越来越大的时候，它确实就看起来，至少在前几项，就越来越接近1+2+3这样加下去的情况。比如说N=1000时，你在前20项根本无法区分压制函数的存在。所以呢，物理学家希望通过这样的计算去研究这个无穷级数到底是怎么发散的。那么这个级数其实是可以算的，它其实是一个几何级数，结果如图。然后我们再把这个结果对大N，也就是我们引入的截断标度做一个泰勒展开，而且是在N趋于无穷大的这样一个极限下。那么它的leading term，也就是首项，是N平方。那这就意味着说这个东西的的确确是不收敛的。但神奇的-1/12就出现了，它就是这个泰勒级数展开的subleading term。更高阶的项没有意义，因为当N趋于无穷时这些项都消失了。
我们把引入的标度就叫做重整化的截断尺度N。
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202108/24/-7Q8j0o-29uoZ18T3cSxo-nl.png[/img]
那么重整化方案的选择，是不是会影响最后的结果呢？你可能会怀疑，这个-1/12是不是那么的general，是不是真的具有普适性。
那么可以参考陶哲轩在博客上给出的几种压制函数的结果，并且可以验证，引入任何的压制函数(只要是一个光滑的函数)，比如说除了指数，还可以用分数形式的衰减去压制(如图)，他们的共同特点就是在n远小于N的区间里，值接近1，对整个求和不做任何操作。而当n远大于N时，它就把你截断掉。可以验证，对于具有如此特点的求和级数进行泰勒展开，尽管leading term千奇百怪，但是它们具有一个universal的sub leading term，也就是-1/12。所以可以说，拉马努金做的计算虽然是不合法的，但他猜出了这么一个结果，-1/12是一个与重整化方案无关的普适常数。这个结果，实际上向我们说明了，在剪除了无穷大项以后，剩下来的一个普适的常数项，是有物理意义的。所以这可以说是重整化思想的一个开端。
我们可以看到这样一个数学技巧就像“黑魔法”一样：明明是一个不可收敛的级数，但是我们却可以通过这样的技巧去找到这样一个不可收敛的级数中间的一种普适性的东西，一种共性。然后这个-1/12在物理里面跟卡西米尔效应等等物理现象都是有关的。实际上在实验上面也是有实验的consequent的，是可以测出来的。所以这也就是神奇的量子场论是怎么处理发散的一个简单演示。