Sh1rigamiS
2025-07-12T15:51:39+00:00
帖子怎么没了，不过不影响结论
首先是题目
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202507/15/-4qiozQvpfd-kknjK17T3cSsg-fz.jpg[/img]
后面有楼层给了辅助线
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202507/15/-4qiozQvpfd-kmbcKlT3cSl9-iq.jpg[/img]
由于gi垂直于hf，因此∠pmg=∠imq=∠mqf，又由于同为圆的半径，pm=mq，因此pgm和mfq是完全相同的三角形。
据此，假设半圆的半径为x，依照勾股定理可得(8-x)^2+(6-x)^2=x^2，且x<5(不可能超过对角线长度)
拿ds算一下，x=14-4根号6，大约就是4.2。再按照半圆周长=πr+2r，可算出最终结果
我的算法跟你一样，目前卡在如何证明PQ是最长的直径。
[quote][pid=832043059,44617231,1]Reply[/pid] Post by [uid=1669931]dbgwalter[/uid] (2025-07-16 00:06):
我的算法跟你一样，目前卡在如何证明PQ是最长的直径。[/quote]pq=pm+mq=pm+mi，
ab=af+fb，
mi=fb，af=gm，
由于三角形pgm为直角三角形且pm为斜边，因此pm>gm
故pq>ab
[url]https://ngabbs.com/read.php?tid=44616856[/url]
这个吗 我搜了一下关键词
[quote][pid=832043059,44617231,1]Reply[/pid] Post by [uid=1669931]dbgwalter[/uid] (2025-07-16 00:06):
我的算法跟你一样，目前卡在如何证明PQ是最长的直径。[/quote]你可以列一个函数自变量是qb因变量是qp，画出曲线看qp最大值就可以了
不，你没解决我的问题。我同意QP>AB，问题是你的解法里没有证明QP为何是最大的半径，就不能再有个XY比QP更长吗？如果QP是最长的可能值，那么Q点和B点是否为同一个点。这些是需要论证的。
楼上的解法是一个可行的证明方法，通过建立函数来找极值。
泥潭有一半的所谓“小学数学题”最后都会发展到这种情况，一边说小学题，一边用高中甚至大学的方法去解，有种又当又立的美。
既然要用到解析几何圆形方程R方=x方+y方，那我可不可以用立体几何直接画一条对角线硬说这是一个垂直于该长方形的半圆，对角线是圆的半径。反正题目也没说圆形和矩形必须在同一个平面内
[quote][pid=832045166,44617231,1]Reply[/pid] Post by [uid=1669931]dbgwalter[/uid] (2025-07-16 00:33):
不，你没解决我的问题。我同意QP>AB，问题是你的解法里没有证明QP为何是最大的半径，就不能再有个XY比QP更长吗？如果QP是最长的可能值，那么Q点和B点是否为同一个点。这些是需要论证的。
楼上的解法是一个可行的证明方法，通过建立函数来找极值。[/quote]q点和b点不可能是同一点
q这个点如果和边bc接触，那么就需要满足mq⊥bc，即a点就是p点
其实按照前面水友给的这个草图，要满足h和i点都是切点的话，x的长度就是定死的，不存在极值的说法
要想推翻这个假设，或者证明有能实现更大半径的方案的话，需要画出不一样的草图才能实现 ，也就是说h和i点中的一个不存在的下，能否实现更大的x
[quote][pid=832045648,44617231,1]Reply[/pid] Post by [uid=1238773]忍心随缘[/uid] (2025-07-16 00:39):
泥潭有一半的所谓“小学数学题”最后都会发展到这种情况，一边说小学题，一边用高中甚至大学的方法去解，有种又当又立的美。
既然要用到解析几何圆形方程R方=x方+y方，那我可不可以用立体几何直接画一条对角线硬说这是一个垂直于该长方形的半圆，对角线是圆的半径。反正题目也没说圆形和矩形必须在同一个平面内[/quote]立几属于开挂(手动狗头)
按规矩的话，还是必须在平面内完成
那个半圆应该是这个样子才对。
前面画错了，应该是这个样子。
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202507/16/-4qiozQvj7k-dgipK1hT3cSre-jc.jpg[/img]
[quote][pid=832046048,44617231,1]Reply[/pid] Post by [uid=5246064]Twoes[/uid] (2025-07-16 00:45):
q点和b点不可能是同一点
q这个点如果和边bc接触，那么就需要满足mq⊥bc，即a点就是p点
其实按照前面水友给的这个草图，要满足h和i点都是切点的话，x的长度就是定死的，不存在极值的说法
要想推翻这个假设，或者证明有能实现更大半径的方案的话，需要画出不一样的草图才能实现 ，也就是说h和i点中的一个不存在的下，能否实现更大的x[/quote]你说到点上了，我就卡在怎么证明这个草图是最大的。所以说构建一个函数可能更符合逻辑。 为什么9楼的草图就不行？一定要有两个切点？
Reply to [pid=832046373,44617231,1]Reply[/pid] Post by [uid=1168005]横戈凌风[/uid] (2025-07-16 00:50)
必不可能是这样的，你左端翘起了，半圆的右边端点必然内收，如果你矩形右下角和半圆端点重合，左边还抬起来，那半圆必然超出矩形范围
Reply to [pid=832046302,44617231,1]Reply[/pid] Post by [uid=5246064]Twoes[/uid] (2025-07-16 00:49)
按规矩那连解析几何都用不了，所以我说泥潭大多数的所谓小学初中数学题都很无聊，最后聊来聊去就变成学历歧视，理科歧视文科，硕博歧视本科，但凡大大方方的说这个小学题如果用高中方法能做出更大解，那倒也没什么，一边强调这是低年级题目，一边用后期内容去碾压，就很无聊。
当然也不是针对你，具体解法看这个视频就好了[url]https://www.bilibili.com/video/BV1sx41167TC[/url]
[quote][pid=832046490,44617231,1]Reply[/pid] Post by [uid=1669931]dbgwalter[/uid] (2025-07-16 00:51):
你说到点上了，我就卡在怎么证明这个草图是最大的。所以说构建一个函数可能更符合逻辑。 为什么9楼的草图就不行？一定要有两个切点？[/quote]真构建函数也很简单，
首先确立一个假设，为了实现x最大，半圆pq一定会与bc和cd中的至少一条边相切
如果是与bc边相切的情形，即存在i点
那么x+x*cos(∠pqa)=8，可知当∠pqa小于90度时，∠pqa越大x越大，而∠pqa的上限就是半圆pq切到bc边的同时也切到了cd
如果是与cd边相切的情形，即存在h点，也是同理，x+x*sin(∠pqa)=6，∠pqa越小x越大，而∠pqa的下限就是半圆pq切到cd边的同时切到bc边
不知道这样能否解释的通
纸上做题10分钟，电脑画图一小时
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202507/16/-4qiozQ965k-742qZaT3cSzk-k0.jpg[/img]
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202507/16/-4qiozQ7i87-hp4pZfT3cSzk-k0.jpg[/img]
(图片里有小笔误，更新了)
[quote][pid=832047472,44617231,1]Reply[/pid] Post by [uid=5246064]Twoes[/uid] (2025-07-16 01:07):
真构建函数也很简单，
首先确立一个假设，为了实现x最大，半圆pq一定会与bc和cd中的至少一条边相切
如果是与bc边相切的情形，即存在i点
那么x+x*cos(∠pqa)=8，可知当∠pqa小于90度时，∠pqa越大x越大，而∠pqa的上限就是半圆pq切到bc边的同时也切到了cd
如果是与cd边相切的情形，即存在h点，也是同理，x+x*sin(∠pqa)=6，∠pqa越小x越大，而∠pqa的下限就是半圆pq切到cd边的同时切到bc边
不知道这样能否解释的通[/quote]我的之前思路是以QB距离为自变量，构建半径R的函数。尝试找到R的最大值，并且QB不等于0也可以证明Q点和B点不重合。
Reply to [pid=832047625,44617231,1]Reply[/pid] Post by [uid=1869831]秋雁難回[/uid] (2025-07-16 01:10)
你这个图不对吧，如果只贴三边，完全可以放平继续涨，最大时应该贴四边
[quote][pid=832048500,44617231,1]Reply[/pid] Post by [uid=64187013]zhuding1214[/uid] (2025-07-16 01:26):
你这个图不对吧，如果只贴三边，完全可以放平继续涨，最大时应该贴四边[/quote]一开始弧和两条直线是否相切并不清楚，所以不能预先假定弧和OF、EF都相切。
未经证明直接画成四边相切(即预先假定圆弧在OF、EF上各存在一个切点)这是错的，你不能预先假定在膨胀过程中到最大的时候恰好和四个边都相切，即使“你觉得”应该是那样。
只有证明到后半段发现极值点处两个判别式都等于0的时候，才能确定圆弧和OF、EF两条边都相切。