小学生也能看懂哥德尔不完备定理怎么证

我们只考虑 皮亚诺公理体系 ，说人话就是自然数加减乘除的小学数学

在小学数学里，有很多关于自然数的陈述，比如
?1+1=2
?1+1=3
?任意a，a=a
有些陈述为真，有些陈述为假。为真的陈述叫定理，每个定理都存在一个证明(我们是这么希望的)

定义一个函数，f(证明)=定理
等等，这不是自然数上的函数啊？那这样就可以了
f(unicode(证明))=uincode(定理)

一个定理可能有几种不同的证明？不影响，不同点的函数值也可以相同
自变量不是个内容有意义的unicode码？没关系，当这个点的函数值不存在就行了(就像1/x在0点)

如果我们写个陈述
不存在a，f(a)=unicode(1=2)
那这个陈述的意思就是1=2不存在证明。也可以把1=2换成1=1，1=1+2等等

可以换成这个陈述自己的unicode，来让它说自己不能被证明吗？显然不行，因为一换，这个陈述自己的unicode又变了。但这个思路值得借鉴

举一个简单的例子
a=1+2
我们不知道a等于几，也就无法判断这个陈述的真假(a=3时为真，其他时候为假)。但如果我们把unicode(a=1+2)代入a，变成
unicode(a=1+2)=1+2
这时我们就可以判断这个陈述的真假了。不如把这个操作叫套娃

但套娃怎么用自然数描述？同样使用函数，定义g(unicode(a=1+2))=unicode(unicode(a=1+2)=1+2)
简单地说就是g(unicode(陈述))=unicode(套娃陈述)

准备工作完了，哥德尔找到的东西就是这个
不存在x和y，f(x)=y，且y=g(unicode(不存在x和y，f(x)=y，且y=g(unicode(a))))

看不懂？先简化下
不存在x和y，f(x)=y，且y=g(unicode(什么什么))
这句话的意思是
不存在x和y，x是y的证明，且y是什么什么的套娃
也就是
不存在x，x是什么什么的套娃的证明
也就是
什么什么的套娃不存在证明

再转回去，原文中的什么什么是
不存在x和y，f(x)=y，且y=g(unicode(a))
这东西的套娃是什么？就是哥德尔找到的那个东西……

也就是说，这个陈述在说它自己不存在证明

我们再来想想这个陈述的真假。假设这个陈述是假的，那就说明它存在证明，那这个陈述又是真的了，矛盾。那这个陈述只能是一个真的定理

我们找到了个不存在证明的定理

对数学有影响吗？好像也没啥诶，只是发现了个奇葩的定理，但打击到了数学家中的一些强迫症，看懂了是不是发现没什么神秘的