Squid, the Fox
2022-07-01T01:49:42+00:00
在半径为1的球的内部有一个内接三棱锥，且知球心在三棱锥内部，求证，棱锥的所有棱长之和大于6
苏联91年奥赛题，初中的。
苏联91年奥赛题，初中的。
喜闻乐见的数学题时间
PandaGuy
利用三角形三边长短关系
Squid, the Fox
[quote][pid=623053529,32577896,1]Reply[/pid] Post by [uid=42338536]北极狐的媚笑[/uid] (2022-07-06 09:58):
利用三角形三边长短关系[/quote]不行，想过了。
利用三角形三边长短关系[/quote]不行，想过了。
SpoopyBoi
思路错了 编辑了
Sincerely, Sheep
三棱锥有6条边啊，只要证明6条边的和大于6就好了吧
利用圆心角和弦长的关系公式L=2R*sin(a/2)能做吗？
利用圆心角和弦长的关系公式L=2R*sin(a/2)能做吗？
ŘØVĘŔ
强行算是可以算出来的，高中立体几何嘛，但是我在想有没有更方便的方法，因为三棱锥刚好是6条棱，证明每条棱长度大于外接圆的半径可能更方便。
HxlfACaucasian
soapy
同平面三边对应角相加等于180度。
角与边长有关系。
设三个未知数，做偏导。
搞错了。是三边对应相加等于360度。
设同一顶点三棱对应角度为x，y，z度，则六条棱总厂为2sin(x/2)+2sin(y/2)+2sin(180-x/2-y/2)+2sin(z/2)+2(180-x/2-z/2)+2(180-y/2-z/2)
一共六项，由于剩余三边在同平面需要满足(360-x-y-z=0)，实际上只需要2个未知数。
无论x，y，z如何取值，譬如x小于120，y小于120，那么z就大于120，则上式至少有3项角度值大于60，结果会大于6。
角与边长有关系。
设三个未知数，做偏导。
搞错了。是三边对应相加等于360度。
设同一顶点三棱对应角度为x，y，z度，则六条棱总厂为2sin(x/2)+2sin(y/2)+2sin(180-x/2-y/2)+2sin(z/2)+2(180-x/2-z/2)+2(180-y/2-z/2)
一共六项，由于剩余三边在同平面需要满足(360-x-y-z=0)，实际上只需要2个未知数。
无论x，y，z如何取值，譬如x小于120，y小于120，那么z就大于120，则上式至少有3项角度值大于60，结果会大于6。
Assassincy
6倍的根3大于6
AdaptOrDie
[quote][pid=623055610,32577896,1]Reply[/pid] Post by [uid=60660699]专门的小号[/uid] (2022-07-06 10:07):
三棱锥的每条边都大于1[/quote]不可能，随便拉一条小于1的内接线段都能在这基础上画个三棱锥
三棱锥的每条边都大于1[/quote]不可能，随便拉一条小于1的内接线段都能在这基础上画个三棱锥
Squid, the Fox
[quote][pid=623055419,32577896,1]Reply[/pid] Post by [uid=63942060]七海雷克顿[/uid] (2022-07-06 10:06):
强行算是可以算出来的，高中立体几何嘛，但是我在想有没有更方便的方法，因为三棱锥刚好是6条棱，证明每条棱长度大于外接圆的半径可能更方便。[/quote]不对的，是能有小于1的棱的。
强行算是可以算出来的，高中立体几何嘛，但是我在想有没有更方便的方法，因为三棱锥刚好是6条棱，证明每条棱长度大于外接圆的半径可能更方便。[/quote]不对的，是能有小于1的棱的。
PhantomTo
球心和和三棱锥顶点连线
以球心为原点，其中一个条线为z轴建立坐标系
只要证明球心那个角大于60度就ok了
因为球心在三棱锥内部，所以实际上是必然大于九十度的
以球心为原点，其中一个条线为z轴建立坐标系
只要证明球心那个角大于60度就ok了
因为球心在三棱锥内部，所以实际上是必然大于九十度的
Bathyprion
三角形三条边 a， b，c
假设c是最长边，那么就有 1/2(a+b)<c<a+b
直接用左边的规律就行了，这里用球心连接三棱锥的顶点，构造6个三角形
其中a，b都是半径1， 所以c>1， 每个三角形都是一样的情况，c1到c6每个都大于1
所以相加就大于6
假设c是最长边，那么就有 1/2(a+b)<c<a+b
直接用左边的规律就行了，这里用球心连接三棱锥的顶点，构造6个三角形
其中a，b都是半径1， 所以c>1， 每个三角形都是一样的情况，c1到c6每个都大于1
所以相加就大于6
Blitx...
球心到到棱锥两个顶点和棱围成一等腰三角形
接下来证明这个三角形顶角大于六十度就行 这样底边也就是棱肯定大于腰也就是球额半径1
然后应该是立体几何的内容了
才发现不是正三棱锥 再想想[s:ac:喷]
接下来证明这个三角形顶角大于六十度就行 这样底边也就是棱肯定大于腰也就是球额半径1
然后应该是立体几何的内容了
才发现不是正三棱锥 再想想[s:ac:喷]
ŘØVĘŔ
[quote][pid=623056604,32577896,1]Reply[/pid] Post by [uid=1715364]GaryLee[/uid] (2022-07-06 10:10):
不对的，是能有小于1的棱的。[/quote]不是正四面体么，那看来是我理解错了。
不对的，是能有小于1的棱的。[/quote]不是正四面体么，那看来是我理解错了。
AdaptOrDie
个人目前想到的思路，
构建三棱锥的方式是，从球面一点出发，向球内发散3条射线，这三条射线两两夹角为a、b、c，
通过这三个角构建三棱锥6边之和的函数F，再通过a、b、c的定义域和相互之间的关系，在定义域里利用不等式去证明F大于6
构建三棱锥的方式是，从球面一点出发，向球内发散3条射线，这三条射线两两夹角为a、b、c，
通过这三个角构建三棱锥6边之和的函数F，再通过a、b、c的定义域和相互之间的关系，在定义域里利用不等式去证明F大于6
Squid, the Fox
[quote][pid=623056944,32577896,1]Reply[/pid] Post by [uid=35075130]accelerations[/uid] (2022-07-06 10:12):
球心和和三棱锥顶点连线
以球心为原点，其中一个条线为z轴建立坐标系
只要证明球心那个角大于60度就ok了
因为球心在三棱锥内部，所以实际上是必然大于九十度的[/quote]符合条件的并不都是大于60度啊
球心和和三棱锥顶点连线
以球心为原点，其中一个条线为z轴建立坐标系
只要证明球心那个角大于60度就ok了
因为球心在三棱锥内部，所以实际上是必然大于九十度的[/quote]符合条件的并不都是大于60度啊
Squid, the Fox
[quote][pid=623057572,32577896,1]Reply[/pid] Post by [uid=13902723]zytb1124[/uid] (2022-07-06 10:14):
球心到到棱锥两个顶点和棱围成一等腰三角形
接下来证明这个三角形顶角大于六十度就行 这样底边也就是棱肯定大于腰也就是球额半径1
然后应该是立体几何的内容了
才发现不是正三棱锥 再想想[s:ac:喷][/quote]符合条件的三棱锥并不都大于60度啊。
球心到到棱锥两个顶点和棱围成一等腰三角形
接下来证明这个三角形顶角大于六十度就行 这样底边也就是棱肯定大于腰也就是球额半径1
然后应该是立体几何的内容了
才发现不是正三棱锥 再想想[s:ac:喷][/quote]符合条件的三棱锥并不都大于60度啊。
J...
我槽小学2年级的 好难
soapy
[quote][pid=623058898,32577896,1]Reply[/pid] Post by [uid=1715364]GaryLee[/uid] (2022-07-06 10:19):
符合条件的三棱锥并不都大于60度啊。[/quote]我编辑了，你看看。
符合条件的三棱锥并不都大于60度啊。[/quote]我编辑了，你看看。