“所有的自然数都可以用小于20个字定义”是悖论吗？

定义，指有且只有一个数与该描述对应。
例，1后面加100个零，既可以描述成一万亿亿……亿，也可以描述成“1后面加100个零”

证明：
反证法。假设存在不能用小于20个字定义的自然数，由皮亚诺公理，存在一个最小的不能用小于20个字定义的自然数，但这个数可以用“最小的不能用小于20个字定义的自然数”定义，而这个定义小于20个字，矛盾，因此不存在不能用小于20个字定义的自然数

但小于20个字定义的自然数的数量，显然小于n^20个(n是汉字数量)，不可能包含无限的自然数，矛盾

那么这个矛盾是因为证明有错误呢(不是悖论而是证明错误)，还是因为这个题目等价于罗素悖论呢(不是证明错误而是悖论，例如理发师悖论)？