KaZe0258
2022-05-17T16:01:47+00:00
看下面两个行为的概率
第一个行为：
在半径为2的圆内投掷一个点
则该点离圆心距离大于1的概率是3/4
第二个行为:
分两步，第一步在半径为2的圆内随机选择一条半径，第二步在该半径上随机投掷一个点
则该点离圆心距离大于1的概率是1/2
注意，该1/2概率并非指第一步前提下第二步的条件概率，而是指总的概率。这不是长度比的计算，也是面积比的计算。说长度和面积不一样的，再多想想
有老哥嘴硬，非要说概率不同是因为第二个行为圆心多计算了无数次，实际上这没有影响。但你要真这么想，那我就明确圆是去圆心的，半径也明确不包含圆心
直觉上，第一个行为和第二个行为本质相同，都是完全随机的选择点，每个点被选到的概率都是相同的，都是选择圆内所有的点，都是比较点到圆心的距离，但结果竟然不同[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_201301/03/-1324875_50e597c090c58.png[/img]
长度和面积没法比吧。
而且就数学意义上来说，一条线上的点和一个面上的点数量相同吧。
理解到这点，就该清楚，数学只是工具，人的作用就是在合适的时候用合适的数学工具。
[s:ac:哭笑]这明显是不同的行为啊。
你向圆里面投掷，甚至可以站在任何位置
第二个情况只能站在圆内的半径上
一个样本空间是面积 所以要平方
第二个样本空间是线 所以不变
这个高中数学有讲过。。。我印象很深
因为第一个概率是面积来着
[s:ac:哭笑]第二个根据“给定”的条件，已经把概率空间压缩到一条直径上了，概率当然不同
[s:ac:哭笑]当然乍一眼看还是有机会翻车的
[img]https://img.nga.178.com/attachments/mon_202205/24/-7Q17s-5ch5ZfT1kSfs-sg.jpg[/img]
这不不同概率空间分割会导致不同结果的问题，详见Bertrand悖论
长度和面积都分不清吗[s:ac:哭笑]
概率这个东西，本质上其实就是在一次实验的同等地位结果中，你需要的那类样本，占所有样本的比例。
我百度了，确实和我这个问题异曲同工。明天我再细想想
Reply to [pid=612798091,32022907,1]Reply[/pid] Post by [uid=61930548]空中飞羊[/uid] (2022-05-24 00:15)你再好好想想，第二个也是面积比，不是长度比
其实二不是直线 而是角sita无限趋向0的扇形 在角趋向于0的时候 (d(2sita)^2-d(sita)^2)/d(2sita)^2 是1/2 但是积一下分就和一一样了
[quote][pid=612798751,32022907,1]Reply[/pid] Post by [uid=60035091]雅客520[/uid] (2022-05-24 00:19):
你再好好想想，第二个也是面积比，不是长度比[/quote]这种题你就得严格按照别人的定义，否则就会误入歧途。
比如说这道题，我告诉你歧途在哪里。
第一个说法中，定义明显是按照圆的定义来算的，那么你这个半径为2的圆的图形或者说面积，可以完全互斥的被分割成两个子集，两者之间泾渭分明，每一个样本都是互斥的，并且你的总样本，也就是圆里面的每个点数一遍。
而第二个说法中，你先进行了一个取半径的操作，请问你下一次取另外一个半径的操作的时候，两次实验的半径是完全互斥的吗？重合的圆心怎么算？那么这样一来，你的总样本还是整个圆数一遍的类似于“面积”的集合吗？
[quote][pid=612801604,32022907,1]Reply[/pid] Post by [uid=61930548]空中飞羊[/uid] (2022-05-24 00:39):
这种题你就得严格按照别人的定义，否则就会误入歧途。
比如说这道题，我告诉你歧途在哪里。
第一个说法中，定义明显是按照圆的定义来算的，那么你这个半径为2的圆的图形或者说面积，可以完全互斥的被分割成两个子集，两者之间泾渭分明，每一个样本都是互斥的，并且你的总样本，也就是圆里面的每个点数一遍。
而第二个说法中，你先进行了一个取半径的操作，请问你下一次取另外一个半径的操作的时候，两次实验的半径是完全互斥的吗？重合的圆心怎么算？那么这样一来，你的总样本还是整个圆数一遍的类似于“面积”的集合吗？[/quote]实际上我认为这道题两个概念被混淆，忽视的点就是圆心这个无穷小的面积，被重复多算了无穷大次。
众所周知，无穷小乘以无穷大次，不等于1就要出事儿[s:ac:哭笑]