eyevee
2021-01-10T01:41:33+00:00
我也是开脑洞，所以也许描述的不准确：
就是对于2个映射
f：A->A
g: B->B
研究这2个映射f和g是否“等价”，大概就是对于任何求f(a),我都能先求g(b)，然后再转回去。
类似的我百度了“群同构”，但似乎更像是研究2个群本身是否是“等价”的，我的重点是映射本身是否“等价”的。
比如对于 x-y 平面， 一段开口向下的抛物线，和一个半圆弧，这2种映射是“等价”的，但和一段单调函数是不“等价”的。
不知道是否数学种有哪个分类是研究类似问题的
抱歉没看懂lz想表达啥。。按照你的“等价”，抛物线和半圆弧怎么“等价”，以及为啥抛物线和f(x)=x这种单调函数的一段无法“等价”？
另外，我感觉这可能和抽象代数并不是那么相关。。个人建议改一下标题。。
其实，你这个类似于表示的等价，或者相当于范畴里的自然变换。你的想法是很好的，很有用，只是你的基础支持不了你达到这个抽象程度。
另外，太过一般的抽象没有什么用，有用的都是在抽象框架里添加几个性质然后推出深刻的结果。
[quote][tid=25173239]Topic[/tid] Post by [uid=1913412]sophy[/uid] (2021-01-19 09:48):
我也是开脑洞，所以也许描述的不准确：
就是对于2个映射
f：A->A
g: B->B
研究这2个映射f和g是否“等价”，大概就是对于任何求f(a),我都能先求g(b)，然后再转回去。
类似的我百度了“群同构”，但似乎更像是研究2个群本身是否是“等价”的，我的重点是映射本身是否“等价”的。
比如对于 x-y 平面， 一段开口向下的抛物线，和一个半圆弧，这2种映射是“等价”的，但和一段单调函数是不“等价”的。
不知道是否数学种有哪个分类是研究类似问题的[/quote]等价？ 点集合拓扑应该就可以解决你的问题了。
[quote][tid=25173239]Topic[/tid] Post by [uid=1913412]sophy[/uid] (2021-01-19 09:48):
我也是开脑洞，所以也许描述的不准确：
就是对于2个映射
f：A->A
g: B->B
研究这2个映射f和g是否“等价”，大概就是对于任何求f(a),我都能先求g(b)，然后再转回去。
类似的我百度了“群同构”，但似乎更像是研究2个群本身是否是“等价”的，我的重点是映射本身是否“等价”的。
比如对于 x-y 平面， 一段开口向下的抛物线，和一个半圆弧，这2种映射是“等价”的，但和一段单调函数是不“等价”的。
不知道是否数学种有哪个分类是研究类似问题的[/quote]你说的是想找函数或者泛函之间的同构关系吧，这个一样的其实，只是放在广义函数空间来考察。
[quote][pid=486607971,25173239,1]Reply[/pid] Post by [uid=60796720]人间一、水[/uid] (2021-01-20 04:49):
其实，你这个类似于表示的等价，或者相当于范畴里的自然变换。你的想法是很好的，很有用，只是你的基础支持不了你达到这个抽象程度。
另外，太过一般的抽象没有什么用，有用的都是在抽象框架里添加几个性质然后推出深刻的结果。[/quote]他意思的等价估计就是 1 to 1 + onto inverse exists
我觉得楼主想问的就是范畴论，范畴论就是研究数学对象间态射的关系(所谓态射是“映射”更抽象和一般的称呼，是等构同构的超集。)。但是一般而言范畴论要积累了非常多数学实例之后才能够理解和深入，像本科里高代里涉及的群论皮毛这种只是范畴论基础中的基础
[quote][pid=486608271,25173239,1]Reply[/pid] Post by [uid=249586]blackcmd[/uid] (2021-01-20 04:59):
他意思的等价估计就是 1 to 1 + onto inverse exists[/quote]他单纯只是把映射类做了个划分，每个划分里都是等价类。但每个集合都可以任意划分，没什么用，除非特定的划分有很特殊的性质
看了半天没明白，你所谓的等价是什么意思
能不能给个定义先