AshTR
2020-11-07T08:35:04+00:00
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我们承认选择公理，根据选择公理能构造出自然数集N
N={1,2,3……}
在自然数集中我们定义了朴素的加法和乘法(四则运算)
**所以1+1=2是不需要证明的，这个是我们一般所说加法在自然数集中的定义。如果你说1+1=3，那么要么“3”在你的定义下是自然数集中的第二个元素，要么这个加法的定义与我们的认知不同，或者二者皆然。
但是自然数集对于加法(和它的逆运算)是不封闭的。也就是说，我对两个自然数做差，结果可能不是自然数，而是一个没有定义的数。我们通过定义这个数，对自然数集做完备化得到的就是整数集Z。两个整数求和求差结果仍然是整数。
接着同样对乘法和它的逆运算做完备化，可以得到有理数集Q。
我们姑且把(数列)极限看做是一个新形式的运算。数列极限是什么？一个数列，当他的通项的项数达到足够
大的时候，它与一个数的差可以做到任意小，这个数就是这个数列的极限，同时称这个数列是收敛的(相对的则是发散的)。
无穷大这个含义就是在这个时候得到的，它指一个发散的数列，当这个数列的项数充分大时值可以做到任意大，我们称这个数列发散到无穷大。
**因此，无穷大并不是一个有值的数。
有理数集对于这个“运算”是不封闭的，一个有理数列(各个元素都是有理数)，它可以在收敛的同时，极限并不是一个有理数。
举个栗子，斐波那契数列1,1,2,3,5……，把它的相邻两项之比作为一个新的数列，这显然是一个有理数列，它的极限并不是一个有理数。
我们通过戴德金切割，构造出实数集，实数集对于极限这种“运算”是封闭的。有关戴德金切割的复杂内容这里就不多说了。
我们现在做的工作就是在实数集上进行的，实数集的性质好到不可思议。
当我们说一个数是实数，要注意这个数的含义。比如说实数“1”，这个符号代表着实数集中的一个元素，它继承自自然数集/整数集/有理数集的对应元素“1”。我们说实数“1/3”，它继承自有理数“1/3”，代表着整数集元素“1”和元素“3”的比，而二者又分别是自然数集的第一个和第三个元素。我们说“e”，它指代收敛到同一极限的数列的极限，比如说这个数列(其中之一)是(1+1/n)^n，而这个数列的每一项都在有理数集中有着相应的定义。
接下来我们回到0.999……与1上，后者作为一个实数的含义我们知道了，前者呢？它指代实数集之中的哪一个元素？
我们定义数项级数。一个级数xn，当它的部分和数列Sn=∑(i from 0 to n)xi收敛时，我们称这个级数收敛，并把其极限作为数项级数的和，即∑xn=∑(i from 0 to ∞)xi=lim(n→∞)Sn。
当一个级数发散时，讨论它的和是没有意义的。在此情况下，加法结合律不适用。
**因此，对于数列1,-1,1-1……，这个数列通过加法结合律可以得到所谓的1=0，错误就出在这个结合律不适用上。
**有趣的是，我们对一个条件收敛的级数，改变它元素的次序，可以让他收敛到整个实数域上的任意一个实数上，那么当然对于条件收敛的级数，加法交换律也就不成立了。这里就不展开了。
通过定义级数，我们终于可以定义十进制数。十进制数数是一个有限数列的和或者一个收敛的级数的和(这一点可以证明)。任意一个实数，我们都可以找到一个十进制数表示他(这一点也可以证明)。
再次举个栗子：
1.52，它代表一个有限数列的和，1+5×1/10+2/10^2，这个和是符号“1.52”所代表的实数。
0.333……它代表一个级数的和，这个级数因为其简单的等比数列的形式是很容易计算的：lim(n→∞)3/10×(1-1/10^n)/(1-1/10)=1/3。
也就是说，0.333……=1/3，这个等式之所成立并不是靠什么数学上的技巧，而是前者的定义就是如此。
**不存在什么0.999……998这样的写法，除非另做定义，否则我们既然承认选择公理(这个是自然数集的基础，没有它就没有自然数)，而这个符号中有且仅有一个8(只要是有限个)，我们就可以根据选择公理找到项数最小(或最大)的一个8，他的项数只能是有限数，也就是说这个符号所指向的数列仅有有限项，那这个省略号就是毫无意义的。
那么回到0.999……上，0.999……=
lim(n→∞)9/10×(1-1/10^n)/(1-1/10)=1。
并不需要什么证明，0.999……这个符号本身的定义就确保了它代表的就是实数1。
我们以一个定理结束这个话题
任意一个实数至少有一个十进制表示。
N={1,2,3……}
在自然数集中我们定义了朴素的加法和乘法(四则运算)
**所以1+1=2是不需要证明的，这个是我们一般所说加法在自然数集中的定义。如果你说1+1=3，那么要么“3”在你的定义下是自然数集中的第二个元素，要么这个加法的定义与我们的认知不同，或者二者皆然。
但是自然数集对于加法(和它的逆运算)是不封闭的。也就是说，我对两个自然数做差，结果可能不是自然数，而是一个没有定义的数。我们通过定义这个数，对自然数集做完备化得到的就是整数集Z。两个整数求和求差结果仍然是整数。
接着同样对乘法和它的逆运算做完备化，可以得到有理数集Q。
我们姑且把(数列)极限看做是一个新形式的运算。数列极限是什么？一个数列，当他的通项的项数达到足够
大的时候，它与一个数的差可以做到任意小，这个数就是这个数列的极限，同时称这个数列是收敛的(相对的则是发散的)。
无穷大这个含义就是在这个时候得到的，它指一个发散的数列，当这个数列的项数充分大时值可以做到任意大，我们称这个数列发散到无穷大。
**因此，无穷大并不是一个有值的数。
有理数集对于这个“运算”是不封闭的，一个有理数列(各个元素都是有理数)，它可以在收敛的同时，极限并不是一个有理数。
举个栗子，斐波那契数列1,1,2,3,5……，把它的相邻两项之比作为一个新的数列，这显然是一个有理数列，它的极限并不是一个有理数。
我们通过戴德金切割，构造出实数集，实数集对于极限这种“运算”是封闭的。有关戴德金切割的复杂内容这里就不多说了。
我们现在做的工作就是在实数集上进行的，实数集的性质好到不可思议。
当我们说一个数是实数，要注意这个数的含义。比如说实数“1”，这个符号代表着实数集中的一个元素，它继承自自然数集/整数集/有理数集的对应元素“1”。我们说实数“1/3”，它继承自有理数“1/3”，代表着整数集元素“1”和元素“3”的比，而二者又分别是自然数集的第一个和第三个元素。我们说“e”，它指代收敛到同一极限的数列的极限，比如说这个数列(其中之一)是(1+1/n)^n，而这个数列的每一项都在有理数集中有着相应的定义。
接下来我们回到0.999……与1上，后者作为一个实数的含义我们知道了，前者呢？它指代实数集之中的哪一个元素？
我们定义数项级数。一个级数xn，当它的部分和数列Sn=∑(i from 0 to n)xi收敛时，我们称这个级数收敛，并把其极限作为数项级数的和，即∑xn=∑(i from 0 to ∞)xi=lim(n→∞)Sn。
当一个级数发散时，讨论它的和是没有意义的。在此情况下，加法结合律不适用。
**因此，对于数列1,-1,1-1……，这个数列通过加法结合律可以得到所谓的1=0，错误就出在这个结合律不适用上。
**有趣的是，我们对一个条件收敛的级数，改变它元素的次序，可以让他收敛到整个实数域上的任意一个实数上，那么当然对于条件收敛的级数，加法交换律也就不成立了。这里就不展开了。
通过定义级数，我们终于可以定义十进制数。十进制数数是一个有限数列的和或者一个收敛的级数的和(这一点可以证明)。任意一个实数，我们都可以找到一个十进制数表示他(这一点也可以证明)。
再次举个栗子：
1.52，它代表一个有限数列的和，1+5×1/10+2/10^2，这个和是符号“1.52”所代表的实数。
0.333……它代表一个级数的和，这个级数因为其简单的等比数列的形式是很容易计算的：lim(n→∞)3/10×(1-1/10^n)/(1-1/10)=1/3。
也就是说，0.333……=1/3，这个等式之所成立并不是靠什么数学上的技巧，而是前者的定义就是如此。
**不存在什么0.999……998这样的写法，除非另做定义，否则我们既然承认选择公理(这个是自然数集的基础，没有它就没有自然数)，而这个符号中有且仅有一个8(只要是有限个)，我们就可以根据选择公理找到项数最小(或最大)的一个8，他的项数只能是有限数，也就是说这个符号所指向的数列仅有有限项，那这个省略号就是毫无意义的。
那么回到0.999……上，0.999……=
lim(n→∞)9/10×(1-1/10^n)/(1-1/10)=1。
并不需要什么证明，0.999……这个符号本身的定义就确保了它代表的就是实数1。
我们以一个定理结束这个话题
任意一个实数至少有一个十进制表示。